MBA備考：借鑒笨人學數學的方法

　　數學是什么？
　　大部分中國人心目中的數學，其實按嚴格的分類，都屬于應用數學。一句話：應用數學是用數字和公式描述客觀世界的科學，研究的是客觀世界的數量性質和運動規律；而數學(為了區分，多稱作“純數學”或“基礎數學”)是含有公式的哲學，研究的是抽象概念的關系、運動規律和空間的性質，具有很強的主觀性和藝術性。古人從獵物分配中總結了算術，從土地面積丈量中總結出基礎的平面幾何，可以說，先有應用數學后有純數學。二者在300年前可以說不分彼此，牛頓、高斯、歐拉等大數學家同樣也在應用數學、物理和哲學等領域取得累累碩果。后來，羅巴切夫斯基和黎曼等建立非歐幾何學，使得人類第一次脫離生活中直觀的三維空間，思考抽象空間的性質，這個事件標志著純數學開始自立門戶。而1900年希爾伯特在國際數學家大會上的講話，可以說是純數學從應用數學中徹底獨立出來。二戰后經濟復蘇，數學家有了資金支持可以無憂生計，全心全力做研究，數學得到長足發展。
　　為什么要學基礎數學？
　　常言道，練武不練功，到老一場空。倚天劍屠龍刀是絕世神兵，但也要拿得動舞得起來才有威力?？催^電影《導火線》的筒子，肯定對里面甄子丹的背摔印象深刻。但如果沒有甄子丹的身體素質和協調能力，硬用背摔這樣的技能非傷到自己不可。應用數學的模型的發明研究者多數有很深的基礎數學功底，故學習者若無一定的基礎數學的訓練，理解他們的成果就要花費很多的時間和精力，而且難以理解透徹和應用到位，更不要提舉一反三了。而目前工業日新月異，金融界瞬息萬變，相關的模型和公式也是層出不窮。學習者如果不能觸類旁通，一個一個學是必然學不完的。一切高級的數學，歸根結底都是微積分和線性代數的各種變化，這是哈佛數學系主任丘成桐和普林斯頓數學系前系主任釋天(Elias Stein)經常告誡學生的話。而基礎數學的初級學科，如數學分析和高等代數，就是對最基本的高等數學和線性代數進行理論上的完善，讓學習者不僅僅能學會現有的套路，更能理解公式定理背后的道理，從而能更好地應對各種隨機的情況，甚至于自創招式。故將來計劃學習理工科和金融的學生，除了練好微積分和線性代數的計算，至少要學習一下這兩個領域的證明課程，也就是一年的基礎數學。這只是最低要求，物理學特別是理論方向的必修群論(屬于抽象代數)，量子力學要學希爾伯特空間(屬于實變函數)。另外，有些較為高端的金融數學項目中的隨機模型的課程，已經要求初步掌握測度論。具體到理工科和金融的名家案例：生物學家施一公高中數學競賽河南省第一名，大學物理和生物雙學位中修了大量數學；哈佛大學雙聘教授莊小威本科在中科大讀核物理，群論和偏微分方程是必修，出國讀博時數學水準不亞于數學系畢業生；文藝復興基金創始人、30年內殺入福布斯前50名的富豪賽猛宅(James Simons)本身就是基礎數學出身。近一點的例子：北大生命科學學院05級本科第一名、現斯坦福博士生高小井；06級本科第一名、現哈佛醫學院博士生李鑫，高中都有數學奧賽經歷，在大學也一直加強數學學習。MHC生物和化學雙學位取得者，目前杜克大學醫學院MD學生王曉雯，大學期間做完了著名的《吉米多維奇數學分析習題集》。本科階段學好數學，是理工社科從業者一生的財富。
　　如何學好數學？
　　第一：要具備不卑不亢的心態。
　　數學并非難，只是它的表述體系和思維要求，對于多數中國學生比較陌生。要把它當作全新的東西來認識，就跟學習一門新語言一樣。以前自己學的東西，包括高中知識和AP數學等，記住概念即可，思維推導不要沿用。然后嚴格按照老師講的思維方式，不厭其煩的推導和證明，慢慢一回生二回熟。幾年前華人數學天才陶哲軒給UCLA本科生講Honor Analysis(榮譽數學分析)的時候，上來進度非常慢，前一個月都在證明皮亞諾公理、集合論和基本的映射理論，但后來可以越學越快，而且學生越學越Hi。拳不離手，曲不離口，學語言要勤動口和動筆，學數學也要沒事常動腦。就算文科生一樣可以學好數學：20世紀俄羅斯數學學派掌門人、莫斯科國立大學數學系主任柯莫高(Kolmogorov,又譯柯爾莫格洛夫)大一是讀歷史的。美國人魏愛華(Edward Witten)更奇葩，本科四年讀的都是歷史和語言學，博士申請UWM的經濟學博士，讀了半年退學，自修數學和物理，23歲考進Princeton，碩轉博再同時搞數學和物理。16年后，他站在菲爾茲獎的領獎臺上。我說過了基礎數學其實是哲學，而哲學算文科還是理科都有道理。所以，就算國內數學學得再爛，只是按照國內標準比較爛，在美國完全有可能前途無量，要有信心。另一方面，國內就算奧賽摘金奪銀，到美國也要扎扎實實的學。因為奧賽國際金牌在歐美的精英面前多數是渣：俄羅斯蓋芳德(Gelfand)15歲讀完代數幾何教父高探蝶(Grothendieck)的名著EGA(代數幾何原理)，這套書讓北大博士去讀都夠嗆。這里特別要說一下美國數學教學的二段教學法：不同于俄羅斯和中國上來就是帶證明的數學分析和高等代數，美國的教學更為親民：上來先是微積分和不帶證明的線性代數，內容比較簡單，作業和考試很多中國學生可以依靠高中基礎秒殺之。但不少人練習不夠，很多知識沒搞透，方法技巧也不夠熟練。然后到了第二段，數分和高代一開，很多人欲哭無淚。這就要求第一階段，哪怕覺得這些題再傻，一本書一道不落地做完是很有必要的。然后第二段就要細讀書，多問老師。在美國基礎數學能學好的中國人，要么是自己天才，要么就把教授辦公室的椅子坐穿。
　　第二，保證數學的學習時間。
　　要是天才并且喜歡數學，那你自然會給數學大量時間。如果是為了將來勝任其他領域而學數學，要記住大一大二對于打好數學基礎是最寶貴的。所以，建議每天先完成其他學科的作業，然后把大塊時間分配給數學的看書做題細琢磨。我目前主要是修各種數學課和一門應用數學的概率論，每天時間大體是這樣分割的：睡覺6小時，吃飯包括飯后的休息2小時，健身和洗澡2小時，交通1小時，個人愛好1小時(抄抄四書五經，讀讀文藝的歌詞，主要是墨明棋妙的還有林夕的)，機動時間1小時，剩下11小時是聽課和課下學習。周末多用兩小時坐校車去買個菜，路上一直思考，也相當于最終學習10小時。誰說數學天才每天悠哉游哉？那么最年輕的菲爾茲獎得主，27歲得獎的賽赫(Jean-Pierre Serre)夠天才了吧？他自述道：習慣帶著數學題入夢，醒來往往有思路。故我用最愛的《紅樓夢》第一回作為他的雅號：“夢幻通靈”賽赫(與“造化陰陽”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯(Sir Michael Atiyah，英國皇家學會會長，敕封爵士)并列20世紀世界第一的數學家)。數學多好算好？別說拿A，滿分都是不夠的。一本書讀完，知識和方法不超綱的題目要難不住你(by“現代微分幾何之父”陳省身)。一本書讀完，同一領域下一階段的書要能自通30%。校內傳的什么每天學習八小時那是給別的學科的。每天八小時想學好數學？做夢！
　　第三，學會科學的思維方法。
　　下面分條目詳解：
　　(1)數學思維的三個方面：任何數學的定義、定理說透了也就三部分：第一是它本身的文字和(或)符號、公式內容；第二是它在數學知識體系中的位置，與其他數學內容的邏輯關系，包括由什么可以推出來該定義或定理，它又可以(與其它定理一起)推出些什么；第三是它所涉及的范疇有什么具體實例(比如循環群就有旋轉圖形、整數加群和同余模加群等例子)，這些例子又有何作用，能否在數學中或數學外(典型的如幾何和物理)取得應用。這就分別是數學對象的本體論、方法論和目的論?？履哒f：“的確學生對數學的適應性存在差異，這種適應性表現在：1，算法能力，也就是對復雜式子作高明的變形，以解決標準方法解決不了的問題的能力。2，幾何直觀的能力，對于抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫一樣表達出來，并進行思考的能力。3，一步一步進行邏輯推理的能力。”這些對應的就是掌握數學概念的三方面需要什么能力。提高算法能力最好多做題，幾何直觀除了做題還要平時多留意，多聯系生活實際；邏輯推理這個往往是中國學生的弱項，畢竟我們母語的方塊字二維畫面性遠遠超過西方拼音文字，而一維線形(邏輯鏈的內在屬性)卻不足。漢字個個如畫，橫豎左右寫均可，而西方拼音文字就得一條路從左往右，上下寫都夠嗆。故邏輯推理要特別練習。練習邏輯推理的方法關鍵在定理的證明，下面會詳述。
  (2)心理狀態：很多人開始覺得數學難，然后生怕基礎打得不牢，一個定理看半天，看似很認真很投入，其實就算理解了思維也很僵化，而且容易跟不上進度。這就像打羽毛球和練書法，你心里緊張，手抓得太緊，反而發不出力來，寫的字也不好看。掌心要虛著，身體要保持隨時可以發力的彈簧狀，擊球時蹬地轉體推肩壓臂一套動作一氣呵成，手掌瞬間抓緊最后一次加速，這才能打出林丹那樣硬砸開李宗偉鐵板防御的扣殺。書法所謂揮灑，也是如此。要保持輕微的緊張和激動，有點小期待，隨時能調動已有知識，并可以多角度觀察新知識，思維能發散也能迅速收回并集中攻關。這種感覺一旦找到，妙不可言。不過重難點也要適當文火慢燉：如果教材中有令自己感到太難的思考，頭一天理解了要標記，第二天要試著不看書回憶。